La cinetica delle reazioni del primo ordine dipende linearmente dalla concentrazione di un reagente. Data la reazione A → prodotti l'equazione differenziale che descrive una reazione del primo ordine è data da:
velocità = – d[A]/dt = k[A]1 = k[A]
in cui k ha dimensione s-1. Scrivendo l'espressione – d[A]/dt = k[A] come – d[A]/[A] = kdt ovvero d[A]/[A] = -kdt e integrando ambo i membri si ottiene:
∫[Ao][A] d[A]/[A] = – ∫tot kt
Da cui ln[A] – ln[Ao] = -kt
Ovvero ln[A]/[Ao]= – kt (1)
Riarrangiando
ln[A] = -kt + ln[Ao]
Questa equazione è l'espressione di una retta in cui mx = – kt e n = ln[Ao]. Riportando in grafico ln[A] in funzione di t si ottiene
una retta con pendenza –k e intercetta ln[Ao].
Grafici
Nelle reazioni del primo ordine riportando in grafico [A] in funzione del tempo si ottiene una curva mentre riportando ln [A] in funzione del tempo si ha una retta
I due grafici sono rappresentati nella figura seguente:
Tempo di dimezzamento
Una grandezza particolarmente importante nello studio della cinetica delle reazioni del primo ordine è il tempo di dimezzamento. Infatti il decadimento radioattivo avviene secondo questa legge cinetica è il tempo di dimezzamento t1/2 che è il tempo necessario affinché la concentrazione del reagente si dimezzi ovvero:
[A]= ½ [Ao]
Sostituendo nella (1) ad [A] il valore ½ [Ao] ed indicando il tempo con t1/2 si ha:
ln ½ [Ao]/[Ao] = -kt1/2
ovvero
ln 1/2 = – kt1/2
e dalle proprietà dei logaritmi ln 1 – ln 2 = – kt1/2
essendo ln 1 = 1 si ha -ln 2= -kt1/2
moltiplicando per -1
ln 2 = 0.693 = kt1/2
Pertanto t1/2 = 0.693/k
Pertanto in una reazione del primo ordine il tempo di dimezzamento è indipendente dalla concentrazione iniziale ed è inversamente proporzionale alla costante di reazione k.
